Bayangan titik m ( 5 , 9 ) oleh pencerminan terhadap y = - x adalah

BANGKAPOS.COM -  Pada materi kali ini kita akan membahas materi serta cara penyelesaian pencerminan (refleksi) untuk kelas 9 SMP/MTs.

Refleksi atau pencerminan merupakan salah satu jenis transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang (atau bangun geometri) dengan menggunakan sifat benda dan bayangannya pada cermin datar. 

Apakah kamu ingat saat bercermin? Pada saat mendekati cermin, tampak bayanganmu juga akan mendekati cermin. Ketika kamu bergerak menjauhi cermin, bayanganmu juga akan menjauhi cermin.

Baca juga: Bikin Hotman Paris Tercengang, Marlina Octoria Beberkan Durasi Hubungan Suami Istri dengan Suaminya

Baca juga: Terbaru 2021, Ini Aturan Batas Usia Pensiun ASN, dari PNS, TNI hingga Polri

Sifat bayangan benda yang dibentuk oleh pencerminan di antaranya sebagai berikut.- Bayangan suatu bangun yang dicerminkan memiliki bentuk dan ukuran yang sama dengan bangun aslinya.- Jarak bayangan ke cermin sama dengan jarak benda aslinya ke cermin.

- Bayangan bangun pada cermin saling berhadapan dengan bangun aslinya.

Pencerminan terhadap titik asal (0,0)
Jika titik A (x, y) direfleksi terhadap titik asal O (0, 0) maka bayangannya adalah A’ (-x, –y).

Pencerminan terhadap sumbu x (garis y = 0)
Jika titik A (x, y) direfleksi terhadap sumbu x (garis y = 0) maka bayangannya adalah A’ (x, –y).

Pencerminan terhadap sumbu y (garis x = 0)
Jika titik A(x, y) direfleksi terhadap sumbu y (ketika garis x = 0) maka bayangannya adalah A’(-x, y).

Pencerminan terhadap garis y = x
Jika titik A (x, y) direfleksi terhadap garis y = x, maka bayangannya adalah A’ (y, x).

Baca juga: Inilah Daftar Gaji Terbaru PNS Lengkap dengan Gaji Pensiunan Beserta Janda dan Duda PNS

Baca juga: AKP Ega Prayudi Kembali Bertugas Sebagai Polisi Setelah Kondisi Tukul Arwana Mulai Membaik

Pencerminan terhadap garis y = –x
Jika titik A (x, y) direfleksi terhadap garis y = –x, maka bayangannya adalah A’ (-y, -x).

Pencerminan terhadap garis y = h
Jika titik A (x, y) direfleksi terhadap garis y = h, maka bayangannya adalah A’ (x, 2h – y).

Pencerminan terhadap garis x = h
Jika titik A (x, y) direfleksi terhadap garis x = h, maka bayangannya adalah A’ (2h – x, y).

Setelah memahami materi tentang pencerminan (refleksi), sekarang coba selesaikan soal-soal berikut ini.

1. Titik P (2, 1) dicerminkan terhadap sumbu Y, maka P' adalah...

a. (1, 2)

b. (-1, -2)

c. (-2, 1)

d. (2, 1)

2. Titik B (3, 2) dicerminkan terhadap sumbu X, maka B' adalah...

a. (2, 3)

b. (-3, -2)

c. (-3, 2)

d. (3, -2)

3. Titik (-4, 2) direfleksikan terhadap garis y = -x. Koordinat titik bayangannya adalah...

a. (2, -4)

b. (-2, 4)

c. (2, 4)

d. (4, -2)

4. Jika titik Q (7, 5) dicerminkan terhadap garis x = 3 maka koordinat titik bayangannya adalah..

a. (5, -1)

b. (5, 1)

c. (-1, 5)

d. (-1, -5)

5. Bayangan titik P(-4, 5) oleh refleksi terhadap garis y = -x dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis x = 2 adalah...

a. P’(-5, 4)

b. P’ (4, -5)

c. P’ (9, 4)

d. P, (-4, 9)

Jawaban:

1. Pembahasan :

Rumus : A (x,y) direfleksikan terhadap sumbu Y hasilnya A' (-x,y)

Jadi P (2,1) direfleksikan terhadap sumbu Y hasilnya P' (-2,1)

Jawaban yang benar adalah C. 

2. Pembahasan :

Rumus : A (x,y) direfleksikan terhadap sumbu X hasilnya A' (x,-y)

Jadi B (3,2) direfleksikan terhadap sumbu X hasilnya B' (3,-2)

Jawaban yang benar adalah D

3. Pembahasan :

Rumus : A (x,y) direfleksikan terhadap garis y = -x hasilnya A' (-y,-x)

Jadi titik (-4,2) direfleksikan terhadap  garis y = -x hasilnya (-2,4)

Jawaban yang benar adalah B

4. Pembahasan :

Rumus : A (x,y) direfleksikan terhadap garis x = m hasilnya A' ((2(m)-x), y)

Jadi titik Q (7,5) direfleksikan terhadap garis x = 3 hasilnya Q' (-1, 5)

Jawaban yang benar adalah C

5. Soal ini kita hanya perlu melakukan dua kali refleksi

Refleksi I garis y = -x

Rumus : A (x,y) direfleksikan terhadap garis y = -x hasilnya A' (-y,-x)

Jadi P (-4,5) direfleksikan terhadap garis y = -x hasilnya P' (-5,4)

Refleksi II garis x = 2

Rumus : A (x,y) direfleksikan terhadap garis x = m hasilnya A' ((2(m)-x), y)

Jadi titik P' (-5,4) direfleksikan terhadap garis x = 2 hasilnya P'' (9, 4)

Jawaban yang benar C

(Bangkapos.com/Vigestha Repit)

         Blog Koma - Sebelumnya telah kita bahas tentang "refleksi atau pencerminan pada transformasi" dimana dilakukan pencerminan terhadap garis horizontal (sumbu X dan garis $ y = k $) dan garis vertikal (sumbu Y dan garis $ x = h$) serta pencerminan terhadap garis $ y = x $ dan $ y = - x$. Nah, pada artikel ini akan kita lanjutkan dengan Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ yang bentuk garis nya lebih bervariasi.

         Bagaimana cara mengerjakan soal Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $? Ternyata pengerjaan pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ menggunakan konsep "rotasi pada transformasi geometri". Ini artinya, pengerjaannya sama saja dengan Rotasi. Sehingga dalam Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ kita membutuhkan matriksnya dan titik pusat serta besar sudutnya ($\theta$). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini, pencerminan titik A($x,y$) terhadap garis $ y = mx + c $ dengan sudut $ \theta $ dan pusat rotasi $ (0,c) $ menghasilkan bayangan titik $A^\prime (x^\prime , y^\prime )$ :



         Untuk memudahkan mempelajari materi Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ ini, sebaiknya teman-teman menguasai beberapa teori tentang trigonometri seperti "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku", "nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa", dan "sudut rangkap pada trigonometri". Selain itu teman-teman juga harus menguasai materi "operasi hitung pada matriks" dan "determinan dan sifat invers".

Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $

       Perhatikan gambar pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ di atas. Titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $ y = mx + c $ pengerjaannya sama dengan rotasi yaitu : pusatnya : $(a,b) = (0,c) $ Sudut putaran : $ 2\theta $ dengan $ \tan \theta = m \, $ dan $ m $ adalah gradien garis $ y = mx + c $ Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) $ .

*). Cara pengerjaannya menggunakan rumus umum transformasi geometri :

$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - c \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) $ atau

$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right)$

Catatan : *). Jika nilai $ c = 0 $ atau pencerminan terhadap garis $ y = m x $, maka cara mencari bayangannya yaitu : $ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

*). Untuk pembuktian matriks transformasinya, silahkan baca pada artikel : "Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$"

Contoh soal pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ : 1). Tentukan bayangan titik A(1,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = x + 2 $? Penyelesaian : *). Menentukan besarnya $ \theta $ : $ y = x + 2 $ , kita peroleh $ m = 1 $ dan $ c = 2 $. $ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = 1 \rightarrow \theta = 45^\circ $. *). Menentukan bayangan titik A(1,5) : $ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2 .45^\circ & \sin 2. 45^\circ \\ \sin 2. 45^\circ & - \cos 2. 45^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & - \cos 90^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 + 0 \\ 1 + 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $ Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (3,3). \, \heartsuit $. 2). Tentukan bayangan titik P(-1,2) jika dicerminkan terhadap garis $ y = \sqrt{3}x - 3 $? Penyelesaian : *). Menentukan besarnya $ \theta $ : $ y = \sqrt{3}x - 3 $ , kita peroleh $ m = \sqrt{3} $ dan $ c = -3 $. $ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = \sqrt{3} \rightarrow \theta = 60^\circ $. *). Menentukan bayangan titik P(-1,2) : $ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2 .60^\circ & \sin 2. 60^\circ \\ \sin 2. 60^\circ & - \cos 2. 60^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 - (-3) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 120^\circ & \sin 120^\circ \\ \sin 120^\circ & - \cos 120^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{5}{2} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{5}{2} - 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} (1 + 5\sqrt{3}) \\ \frac{1}{2}(-\sqrt{3} + 5) - 3 \end{matrix} \right) \end{align} $ Jadi, bayangan titik P adalah $ P^\prime \left( \frac{1}{2} (1 + 5\sqrt{3}),\frac{1}{2}(-\sqrt{3} + 5) - 3 \right). \, \heartsuit $. 3). Tentukan bayangan titik B(5,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x + 5 $? Penyelesaian : *). Menentukan besarnya $ \theta $ : $ y = 2x + 5 $ , kita peroleh $ m = 2 $ dan $ c = 5 $. $ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = 2 \rightarrow \frac{depan}{samping} = \frac{2}{1} $. Karena $ \tan \theta = 2 $ tidak menghasilkan sudut istimewa, kita buatkan segitiga siku-sikunya : gambar 2. Sehingga nilai $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} $ dan $ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{5}} $. *). Menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ dengan sudut rangkap : $ \begin{align} \cos 2\theta & = 2\cos ^2 \theta - 1 \\ & = 2 ( \frac{1}{\sqrt{5}})^2 - 1 \\ & = 2 ( \frac{1}{5}) - 1 \\ & = \frac{2}{5} - 1 \\ & = - \frac{3}{5} \\ \sin 2 \theta & = 2\sin \theta \cos \theta \\ & = 2 . \frac{2}{\sqrt{5}} . \frac{1}{\sqrt{5}} \\ & = \frac{4}{5} \end{align} $ *). Menentukan bayangan titik B(5,5) : $ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 \\ 5-5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 + 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 9 \end{matrix} \right) \end{align} $ Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (-3,9). \, \heartsuit $. 4). Tentukan bayangan persamaan $ 2x + 3y = 1 $ jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x - 1 $? Penyelesaian : *). bentuk $ y = 2x - 1 \rightarrow m = 2 \, $ dan $ c = -1 $. *). Adapun nilai $ \sin 2\theta $ dan $ \cos 2\theta $ sama dengan contoh soal nomor (3) di atas, yaitu : $ \cos 2\theta = - \frac{3}{5} \, $ dan $ \sin \frac{4}{5} $. *). Menentukan invers matriksnya : Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) $. Determinan matriks M : $ det(M) = |M| = -\frac{3}{5} . \frac{3}{5} - \frac{4}{5} . \frac{4}{5} = -\frac{9}{25} - \frac{16}{25} = - 1 $ Invers matriksnya : $ \begin{align} M^{-1} & = \frac{1}{|M|} . adj(M) \\ & = \frac{1}{-1} . \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \end{matrix} \right) \\ & = -1 . \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $ Sifat Invers : $ AX = C \rightarrow X = A^{-1}.C $. *). Menentukan Hubungan $(x,y)$ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ : $ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - c \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - c \end{matrix} \right) & = M. \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) & = M^{-1}. \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - c \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y - (-1) \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - (-1) \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y + 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} (y^\prime + 1) \\ \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}(y^\prime + 1) \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y + 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} y^\prime + \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime + \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $ kita peroleh : $ x = -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} y^\prime + \frac{4}{5} $ $ y + 1 = \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime + \frac{3}{5} \rightarrow y = \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime - \frac{2}{5} $ *). Substitusi bentuk yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya : $ \begin{align} 2x + 3y & = 1 \\ 2\left( -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} y^\prime + \frac{4}{5} \right) + 3\left(\frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime - \frac{2}{5} \right) & = 1 \\ -\frac{6}{5}x^\prime + \frac{8}{5} y^\prime + \frac{8}{5} + \frac{12}{5}x^\prime + \frac{9}{5}y^\prime - \frac{6}{5} & = 1 \\ \frac{6}{5}x^\prime + \frac{17}{5} y^\prime + \frac{2}{5} & = 1 \\ 6x^\prime + 17 y^\prime + 2 & = 5 \\ 6x^\prime + 17 y^\prime & = 3 \end{align} $ sehingga bayangannya : $ 6x^\prime + 17 y^\prime = 3 \, $ atau $ 6x + 17 y = 3 $ Jadi, persamaan bay;angannya adalah $ 6x + 17 y = 3 . \, \heartsuit $ Catatan Pertama : *). Jika teman-teman sulit menggunakan bentuk trigonometrinya, maka untuk menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ kita bisa langsung menggunakan bentuk berikut : jika diketahui gradiennya $ m $ , maka $ \cos 2\theta = \frac{1-m^2}{1+m^2} $ dan $ \sin 2\theta = \frac{2m}{1 + m^2} $. *). Silahkan teman-teman coba kembali mengerjakan soal-soal di atas dengan langsung menggunakan bentuk pada catatan ini. Misalkan kita kerjakan kembali contoh soal nomor 3 di atas : Pengerjaan ulang contoh (3). Contoh 3). Tentukan bayangan titik B(5,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x + 5 $? Penyelesaian : *). Pada soal diketahui : $ y = 2x + 5 $ , kita peroleh $ m = 2 $ dan $ c = 5 $. *). Menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ dengan sudut rangkap : $ \begin{align} \cos 2\theta & = \frac{1-m^2}{1+m^2} = \frac{1-2^2}{1+2^2} = \frac{-3}{5} \\ \sin 2 \theta & = \frac{2m}{1 + m^2} = \frac{2.2}{1 + 2^2} = \frac{4}{5} \end{align} $ *). Langkah berikutnya sama dengan pengerjaan di atas. *). Menentukan bayangan titik B(5,5) : $ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 \\ 5-5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 + 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 9 \end{matrix} \right) \end{align} $ Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (-3,9). \, \heartsuit $. Catatan Kedua : *). Dari rumus umum transformasi geometri dan bentuk catatan pertama (substitusikan bentuk $ \cos 2\theta = \frac{1-m^2}{1+m^2} $ dan $ \sin 2\theta = \frac{2m}{1 + m^2} $ ke rumus umum transformasi geometrinya), maka dapat kita peroleh hasil akhir bayangannya yaitu : $ \begin{align} x^\prime & = \frac{1-m^2}{1+m^2} \times x + \frac{2m}{1 + m^2}\times (y-c) \\ y^\prime & = \frac{2m}{1+m^2} \times x - \frac{1-m^2}{1 + m^2}\times (y-c) + c \end{align} $ *). Coba kita aplikasikan lagi ke contoh nomor (3) di atas : Contoh 3). Tentukan bayangan titik B(5,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x + 5 $? Penyelesaian : *). Pada soal diketahui : $ y = 2x + 5 $ , kita peroleh $ m = 2 $ dan $ c = 5 $. dan titik awal B yaitu $ (x,y)= (5,5) $. *). Menentukan bayangan titik B(5,5) : $ \begin{align} x^\prime & = \frac{1-m^2}{1+m^2} \times x + \frac{2m}{1 + m^2}\times (y-c) \\ & = \frac{1-2^2}{1+2^2} \times 5 + \frac{2.2}{1 + 2^2}\times (5-5) \\ & = \frac{-3}{5} \times 5 + \frac{4}{5}\times 0 \\ & = -3 + 0 = -3 \\ y^\prime & = \frac{2m}{1+m^2} \times x - \frac{1-m^2}{1 + m^2}\times (y-c) + c \\ & = \frac{2.2}{1+2^2} \times 5 - \frac{1-2^2}{1 + 2^2}\times (5-5) + 5 \\ & = 4 + 0 + 5 = 9 \end{align} $ Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (-3,9). \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan transformasi geometri.